已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
| 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时， （1）求t的值； （2）求证：b⊥（a+tb）． |
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（1）设
a 与
b 的夹角为θ，
∵|
a +t
b | 2 =（
a +t
b ） 2 =|
a | 2 +t 2 |
b | 2 +2
a •（t
b ）=|
a | 2 +t 2 |
b | 2 +2t|
a ||
b |cosθ
=|
b | 2 （t+
|
a |
|
b | cosθ） 2 +|
a | 2 sin 2 θ，
∴当t=-
|
a |
|
b | cosθ=-
|a||b|cosθ
|b | 2 =-
a •
b
|
b | 2 时，|
a +t
b |有最小值．
（2）证明：∵
b •（
a +t
b ）=
b •（
a -
a•b
|b | 2 •
b ）=
a •
b -
a •
b =0，
∴
b ⊥（
a + t
b ）．
a 与
b 的夹角为θ，
∵|
a +t
b | 2 =（
a +t
b ） 2 =|
a | 2 +t 2 |
b | 2 +2
a •（t
b ）=|
a | 2 +t 2 |
b | 2 +2t|
a ||
b |cosθ
=|
b | 2 （t+
|
a |
|
b | cosθ） 2 +|
a | 2 sin 2 θ，
∴当t=-
|
a |
|
b | cosθ=-
|a||b|cosθ
|b | 2 =-
a •
b
|
b | 2 时，|
a +t
b |有最小值．
（2）证明：∵
b •（
a +t
b ）=
b •（
a -
a•b
|b | 2 •
b ）=
a •
b -
a •
b =0，
∴
b ⊥（
a + t
b ）．
1年前
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