设O是△ABC的外心,且AC^2-4AC+AB^2=0则向量BC*向量AO的取值范围

因为O为外心,故令|AO|=|BO|=|CO|=R
向量BC·向量AO=(向量BA 向量AC)·向量AO=向量BA·向量AO 向量AC·向量AO=(向量BO 向量OA)·向量AO (向量AO 向量OC)·向量AO=向量BO·向量AO 向量OC·向量AO
令∠AOC=β,∠AOB=γ,则
向量BO·向量AO=R^2*cosβ,向量OC·向量AO=R^2*cos(π-β)=-R^2*cosβ
所以,向量BC·向量AO=R^2*(cosγ-cosβ)
由余弦公式有b^2=2R^2-2R^2*cosβ,c^2=2R^2-2R^2*cosγ,两式相减得b^2-c^2=2R^2*(cosγ-cosβ).带入上式消去R和三角函数有
向量BC·向量AO=2(b^2-c^2)
因为(b-1)^2 c^2=1,令b=cosθ 1,c=sinθ.则
向量BC·向量AO=2(b^2-c^2)=4(cosθ)^2 4cosθ=(2cosθ 1)^2-1
因为由b>0和c>0得θ∈(2kπ,2kπ π) (k∈Z),所以-1≤(2cosθ 1)^2-1≤8
综合上述,向量BC·向量AO的取值范围是[-1,8].