如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），O为坐标原点．设P点在第一象限

（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上，
∴

c＝0
a+b＝3
16a+4b＝0，
即

a＝−1
b＝4
c＝0，
所以抛物线的解析式为：y=-x²+4x．（2分）

（2）连接AC、OB相交于Q，则Q是矩形OABC的对称中心，
∵P是⊙P的对称中心，
∴PQ平分⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积
设PQ的解析式为y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
∴

k+b＝3
2k+b＝1，
∴

k＝−2
b＝5，
所以PQ解析式为y=-2x+5．（5分）

（3）假设x轴上存在点M，使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，
则有如下两种情形：
①当⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切时，则M是△PAN的内心．
∵M在x轴上，
∴x轴为∠PAN的平分线，
∴P（1，3）关于x轴的对称点G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式为：y=x-4，
由

y＝x−4
y＝−x2+4x得到N（-1，-5）（7分）
作PR⊥ox轴于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴PA＝3
2
作NH⊥ox轴于H，因为AN的解析式为：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴AN＝5
2，在Rt△NAP中，PN＝
PA2+AN2＝2
17
∴Rt△NAP的内切圆⊙M的半径MT＝
AN+PA−PN
2＝4
2−
17，
∴AM＝
2MT＝8−
34，
∴M(
34−4，0）．（9分）
②当⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切于J、S，且与AN边相切于R时，则M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三边长度分别为：AN＝5
2，PA＝3
2，PN＝2
17
∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圆的半径MS＝
AP+AN+PN
2＝4
2+
17，
∴AM＝
2MS＝8+
34，M(−
34−4，0）．
综上所述：x轴上存在点M，
使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切M(
34−4，0）、M(−
34−4，0）．（12分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．