（2012•南宁模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(

（2012•南宁模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)＝
x2+a
bx−c
(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0，2，且f(−2)＜−
1
2
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知数列{an}各项不为零且不为1，满足4Sn•f(
1
an
)＝1，求证：[11−an＜ln
n+1/n
＜−
1
an]；
（3）设bn＝−
1
an
，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2012-1＜ln2012＜T2011．
岁岁柳色新 1年前 已收到1个回答 举报
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ljj77 花朵

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解题思路：（1）设
x2+a
bx−c
＝x，由条件求得f(x)＝
x2
2(x−1)
(x≠1)，求出f（x）的导数f′（x），令f′（x）＞0，求得函数的增区间，令f′（x）＜0，求得函数的减区间．
（2）由条件可得an=-n，要证的不等式即为[1/n+1
＜ln
n+1
n
＜
1
n]，令1+
1
x
＝t，x＞0，再令g(t)＝t−1−lnt，g′(t)＝1−
1
t
，利用导数判断g（t）单调递增，得到[1/x
＞ln
x+1
x
，x＞0…①，
令h(t)＝lnt−1+
1
t]，h′(t)＝
1
t
−
1
t2
＝
t−1
t2
，当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增，可得即ln
x+1
x
＞
1
x+1
，x＞0…②，由①②证得不等式成立．
（3）由（2）可知bn＝
1
n
，Tn＝1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，在[1/n+1
＜ln
n+1
n
＜
1
n]中，令n=1，2，3，4，…，2011，并将各式相加，化简证得结果．

（1）设
x2+a
bx−c＝x，可得 （1-b）x2+cx+a=0，（b≠1）．
由于函数f(x)＝
x2+a
bx−c(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0，2，故0，2是方程（1-b）x2+cx+a=0的两个根，
∴

2+0＝−
c
1−b
2×0＝
a
1−b，解得

a＝0
b＝1+
c
2，所以f(x)＝
x2
(1+
c
2)x−c．
由f(−2)＝
−2
1+c＜−
1
2 可得-1＜c＜3．
又b，c∈N*，所以c=2，b=2，所以f(x)＝
x2
2(x−1)(x≠1)，
于是f′(x)＝
2x•2(x−1)−x2•2
4(x−1)2＝
x2−2x
2(x−1)2，
令f′（x）＞0，求得 x＜0，或x＞2，求得f（x）的增区间为（-∞，0），（2，+∞）．
令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，或2＞x＞1，求得f（x）的增区间为（0，1），（1，2）． （4分）
（2）由已知

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数列与不等式的综合应用，属于难题．

1年前

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