证明若A方=A,则A或者是单位矩阵或者是奇异型矩阵

探路者2 1年前 已收到3个回答 举报
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xzh432 春芽

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A^2-A=0
所以f(x)=x^2-x是矩阵A的一个化零多项式.因此矩阵A的特征值只可能是化零多项式f(x)的根,也就是0或1.
下面分情况讨论：
（1）如果特征值中有0,那么矩阵不可逆,显然就是奇异矩阵.
（2）如果特征值是全1,那么只要证明A相似于对角阵即可.（这是显然的,因为A的化零多项式f(x)无重根,因此A的最小多项式也必定无重根,所以A相似于对角阵.）又因为此时特征值是全1,所以A相似于单位阵,A=P^(-1)EP=E,此时A就是单位阵.

1年前

9

云云风风 幼苗

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等式两边取模，解得：模A等于零或1。模为0时是奇异阵，模为1时是单位阵。

1年前

2

周末123 幼苗

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A^2=A
A 只能为奇异或非奇异。若非奇异即可逆，左右两边乘A得A=I (单位阵)

1年前

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