图形证明题已知∠BAC=∠BCA=15°∠ACD=30°∠DAC=45°求证ABD是正三角形.晚上十点半前加50分图片

证明：∠BAC=∠BCA=15°
则AB=BC,
∠ACD=30°,∠DAC=45°
则∠ADC=180°-30°-45°=105°
在三角形ABD内由正弦定律
AB/sin∠ADB=BD/sin∠BAD=AD/sin∠ABD
AB/sin∠ADB=BD/sin60°=AD/sin∠ABD
BD=sin60°*AB/sin∠ADB
在三角形ADC内由正弦定律
BD/sin∠BCD=BC/sin∠BDC=CD/sin∠CBD
BD/sin∠45°=BC/sin∠BDC=CD/sin∠CBD
BD=sin∠45°*BC/sin∠BDC
BD=sin60°*AB/sin∠ADB=sin45°*BC/sin∠BDC
又AB=BC
sin60°/sin∠ADB=sin45°/sin∠BDC
又∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°
解得
∠ADB=60°
在三角形ABD中
∠ADB=60°,∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°
则∠ADB=∠BAD=∠ABD=60°
得证ABD是正三角形

可以用余弦定理证明，不过这是高中内容，非常严谨。
过点D作DE垂直于AC，垂足为E。设AB=BC=1
根据△ABC三个内角为15°，15°和150°，列余弦定理式子：
cos150°=（AB的平方+BC的平方-AC的平方）/（2*AB*BC）=负三分之根号二
解得AC的平方=二加根号三
设AE=DE=x，则有方程
（x+根号三x）的平方=二加根号三