高中一道圆锥曲线大题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/3,MN是经过椭圆左焦点F
高中一道圆锥曲线大题
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/3,MN是经过椭圆左焦点F的任一弦,AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦.（1）若2向量MF＝5向量FN,求弦MN所在直线的斜率；（2）证明：|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项.
我怎么觉得那么难算呢
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/3,MN是经过椭圆左焦点F的任一弦,AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦.（1）若2向量MF＝5向量FN,求弦MN所在直线的斜率；（2）证明：|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项.
我怎么觉得那么难算呢
赞 枧草儿 幼苗
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（1）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) ,左焦点为F.
|MF|＝5m,则|FN|＝2m,|MN|＝7m,
设直线l是椭圆的左准线,e是椭圆的离心率,e=√3/3.
作MM1⊥l于A1,作NN1⊥ l于B1,NA⊥MM1于A,
根据椭圆的第二定义,则|MM1|＝5m/e , |N1N|＝2m/e ,
∴|AM|＝|MM1| - |N1N|=3 m/e,
所以cos∠MFx= cos∠NMA
=|AM|/|MN|=(3 m/e)/(7m)
=3 /(7e)
=3√3/7
从而tan∠MFx=√66/9.
∴MN的斜率为√66/9.
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) ,左焦点为F.
|MF|＝5m,则|FN|＝2m,|MN|＝7m,
设直线l是椭圆的左准线,e是椭圆的离心率,e=√3/3.
作MM1⊥l于A1,作NN1⊥ l于B1,NA⊥MM1于A,
根据椭圆的第二定义,则|MM1|＝5m/e , |N1N|＝2m/e ,
∴|AM|＝|MM1| - |N1N|=3 m/e,
所以cos∠MFx= cos∠NMA
=|AM|/|MN|=(3 m/e)/(7m)
=3 /(7e)
=3√3/7
从而tan∠MFx=√66/9.
∴MN的斜率为√66/9.
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