椭圆大题已知椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,与直线x+y+1=0交于M,N两点,若以M,N为直径的圆

椭圆大题
已知椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,与直线x+y+1=0交于M,N两点,若以M,N为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.
这题做法我会,我就是想问一下：还需要联立椭圆方程和直线方程,然后算△求a的取值范围吗?因为题目说相交于M,N两点了啊!所以我觉得就不用了.可我听别人有的说用.= =
以下是本题答案 中间有一步我有疑问。
∵e=c/a=√3/2==>c^2/a^2=3/4==>(a^2-b^2)/a^2=3/4
==>a^2=4b^2
设椭圆的方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，P(x1,y1),Q(x2,y2)
则有：x^2/4b^2+y^2/b^2=1
直线x+y+1=0代入椭圆的方程：
x^2/4b^2+(-x-1)^2/b^2=1
==>5x^2+8x+4-4b^2=0
x1+x2=-8/5,x1x2=(4-4b^2)/5
y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(1-4b^2)/5
因为OP垂直于OQ，即：x1x2+y1y2=0
∴(4-4b^2)/5+(1-4b^2)/5=0
==>5-8b^2=0
==>b^2=5/8
a^2=4b^2
==>a^2=4*5/8=5/2
椭圆方程是：x^2/(5/2)+y^2/(5/8)=1
我想问==>5x^2+8x+4-4b^2=0 这步之后 需不需要算△＞0还？