（2014•天津模拟）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为[2/7]，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1

（2014•天津模拟）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为[2/7]，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求乙取到白球的概率．

dinghaofeng008 1年前已收到1个回答举报

若干年前若干年后幼苗

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解题思路：（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，由题意知[1/7＝

]，求出黑球有4个，白球有3个．由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
（Ⅱ）由乙后取，知乙只有可能在第二次，第四次取球，由此能求出乙取到白球的概率．

（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，
由题意知[1/7＝

C2n

C27]…（1分）
=

n(n−1)
2

7×6
2＝
n(n−1)
7×6，
解得n=4或n=-3（舍去） …（3分）
∴黑球有4个，白球有3个．
由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分）
P(ξ＝1)＝
3
7；P(ξ＝2)＝
4×3
7×6＝
2
7，
P(ξ＝3)＝
4×3×3
7×6×5＝
6
35，
P(ξ＝4)＝
4×3×2×3
7×6×5×4＝
3
35，
P(ξ＝5)＝
4×3×2×1×3
7×6×5×4×3＝
1
35…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）
∴ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4 5
P [3/7] [2/7] [6/35] [3/35] [1/35]…（8分）
所以数学期望为：Eξ＝
3
7+2×
2
7+3×
6
35+4×
3
35+5×
1
35＝2…（9分）
（Ⅱ）∵乙后取，
∴乙只有可能在第二次，第四次取球，
记乙取到白球为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝2)+P(ξ＝4)＝
2
7+
3
35＝
13
35，…（11分）
答：乙取到白球的概率为[13/35]．…（12分）

点评：
本题考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．

考点点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．

1年前

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