（2014•祁东县一模）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为[1/7]．现有甲、乙两人从袋中轮流、不

（2014•祁东县一模）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为[1/7]．现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…直到袋中的球取完即终止．若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．用ξ表示甲四次取球获得的分数之和．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．

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shuibaopao 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，利用古典概型的概率计算公式能求出袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．袋中有3个白球、4个黑球，ξ可能的取值是4，5，6，7．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．

（Ⅰ）设袋中原有n个白球，
由题意知：[1/7＝

C2n

C27＝
n(n−1)
7×6]，
解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．袋中有3个白球、4个黑球．
甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白．
相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，
即ξ可能的取值是4，5，6，7．
P(ξ＝4)＝

C44

C47＝
1
35；
P(ξ＝5)＝

C34•
C13

C47＝
12
35；
P(ξ＝6)＝

C24•
C23

C47＝
18
35；
P(ξ＝7)＝

C14•
C33

C47＝
4
35，
∴所以ξ的概率分布列为：

ξ 4 5 6 7
P [1/35] [12/35] [18/35] [4/35]Eξ＝4×
1
35+5×
12
35+6×
18
35+7×
4
35＝
40

点评：
本题考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．

考点点评：本题考查概率的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合知识的合理运用．

1年前

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