线性代数的问题已知a4不能由a1,a2,a3线性表示,但a1能由a2,a3,a4线性表示,求证a1能由a2,a3线性表示
线性代数的问题
已知a4不能由a1,a2,a3线性表示,但a1能由a2,a3,a4线性表示,求证a1能由a2,a3线性表示.
已知a4不能由a1,a2,a3线性表示,但a1能由a2,a3,a4线性表示,求证a1能由a2,a3线性表示.
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证明:由已知a1能由a2,a3,a4线性表示,
存在k2,k3,k4使得 a1 = k2a2+k3a3+k4a4.
又由已知 a4不能由a1,a2,a3线性表示,
则必有 k4 = 0.
假如 k4≠0,则有
a4 = (1/k4)a1 - (k2/k4)a2 - (k3/k4)a3
这与a4不能由a1,a2,a3线性表示矛盾.
故 k4 = 0.
所以 a1 = k2a2+k3a3.
即 a1能由a2,a3线性表示.
存在k2,k3,k4使得 a1 = k2a2+k3a3+k4a4.
又由已知 a4不能由a1,a2,a3线性表示,
则必有 k4 = 0.
假如 k4≠0,则有
a4 = (1/k4)a1 - (k2/k4)a2 - (k3/k4)a3
这与a4不能由a1,a2,a3线性表示矛盾.
故 k4 = 0.
所以 a1 = k2a2+k3a3.
即 a1能由a2,a3线性表示.
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