已知直线y=kx+1与双曲线3x 2 -y 2 =1有A、B两个不同的交点．

（1）设A（x ₁ ，kx ₁ +1），B（x ₂ ，kx ₂ +1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，
∴x ₁ x ₂ +（kx ₁ +1）（kx ₂ +1）=0，即（k ² +1）x ₁ x ₂ +k（x ₁ +x ₂ ）+1=0…①
由

y=kx+1
3 x 2 - y 2 =1 消去y得（3-k ² ）x ² -2kx-2=0…②∴

x 1 + x 2 =
2k
3- k 2
x 1 x 2 =-
2
3- k 2
将其代入①得
-2( k 2 +1)
3- k 2 +
2 k 2
3- k 2 +1=0 ，解得k=1或k=-1．
当k=1时，方程②为2x ² -2x-2=0，有两个不等实根；
当k=-1时，方程②为x ² +x-1=0，有两个不等实根．
故当k=1或k=-1时，以AB为直径的圆恰好过原点O．
（2）若A（x ₁ ，kx ₁ +1），B（x ₂ ，kx ₂ +1）关于直线y=2x对称，
则

k=-
1
2
(k x 1 +1)+(k x 2 +1)=2( x 1 + x 2 )
将④整理得（k-2）（x ₁ +x ₂ ）+2=0．
因为 x 1 + x 2 =
2k
2- k 2 ，所以
2k(k-2)
3- k 2 +2=0 ，解之，得 k=
3
2 ．这个结果与③矛盾．
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y=2x对称．