线性代数线性相关问题线性代数;设4维列向量a1,a2,a3线性无关且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关

向量组a1,a2,a3,b1,b2一定线性相关,所以存在不全为零的实数x1,x2,x3,y1,y2使得x1a1+x2a2+x3a3+y1b1+y2b2=0,即x1a1+x2a2+x3a3=-y1b1-y2b2.
则b1,b2不能全为零,否则x1a1+x2a2+x3a3=0,因为a1,a2,a3线性无关,所以x1,x2,x3全为零,所以x1,x2,x3,y1,y2全为零,矛盾.
所以y1,y2不能全为零.
a1,a2,a3与b1,b2都正交,所以x1a1+x2a2+x3a3与b1,b2都正交,所以x1a1+x2a2+x3a3与y1b1+y2b2正交,所以(x1a1+x2a2+x3a3,y1b1+y2b2)=(-(y1b1+y2b2),y1b1+y2b2)=-y1b1+y2b2,y1b1+y2b2)=0,所以y1b1+y2b2=0.
因为y1,y2不全为零,所以b1,b2线性相关.

b1,b2属于a1,a2,a3的正交补空间，由a1,a2,a3是四维向量空间的三个线性无关向量，所以他们的正交补空间的维数是一，从而b1,b2线性相关