已知函数 f(x)= ax x 2 +b 在x=1处取得极值2．

（1）因 f / (x)=
a( x 2 +b)-ax(2x)
( x 2 +b) 2 ，
而函数 f(x)=
ax
x 2 +b 在x=1处取得极值2，
所以

f / (1)=0
f(1)=2 ⇒

a(1+b)-2a=0

a
1+b =2 ⇒

a=4
b=1
所以 f(x)=
4x
1+ x 2 ；
（2）由（1）知 f / (x)=
4( x 2 +1)-8 x 2
( x 2 +1) 2 =
-4(x-1)(x+1)
(1+ x 2 ) 2 ，
如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，
所以，

m≥-1
2m+1≤1
m＜2m+1 ⇒-1＜m≤0，
所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．



（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为： k= f / ( x 0 )=
4(1- x 0 2 )
(1+ x 0 2 ) 2 =4×
-1- x 0 2 +2
(1+ x 0 2 ) 2 = 4[
2
(1+ x 0 2 ) 2 -
1
1+ x 0 2 ]
令 t=
1
1+ x 0 2 ，则t∈（0，1]，此时， k=8( t 2 -
1
2 t)=8(t-
1
4 ) 2 -
1
2
根据二次函数 k=8(t-
1
4 ) 2 -
1
2 的图象性质知：
当 t=
1
4 时，k _min = -
1
2 ，当t=1时，k _max =4
所以，直线l的斜率k的取值范围是 [-
1
2 ， 4 ] ．