已知一双曲线,点p是双曲线上任意一点,过点p的切线与两条渐近线交于M、N两点,求三角形MNO的面积?

切线的性质：设曲线上某一个切点是P,那么在P附近极小的领域o(P,r)内的曲线只有这一个P与切线有交点；P点切线的斜率代表了曲线在P点的斜率；P的切线垂直于P的法线.
不失一般性设P(x0,y0)是双曲线在第一象限里一点,切线上M(x1,y1)是第一象限与渐近线的交点,则N(x2,y2)是第四象限与渐近线的交点.
双曲线在P点的切线方程是x0x/a^2-y0y/b^2=1.双曲线的渐近线方程是y=±bx/a.切线和y=bx/a在第一象限相交的M,切线和y=-bx/a在第四象限相交的N.易求得M、N的坐标如下：
M(a^2b/(bx0-ay0),ab^2/(bx0-ay0)),N(a^2b/(bx0+ay0),-ab^2/(bx0+ay0))
假设切线与x的交点为L,则L的坐标为(a^2/x0,0).
S△MNO=S△MLO+S△NLO=1/2*|OL|*(h1+h2)=1/2*(a^2/x0)*[ab^2/(bx0-ay0)+ab^2/(bx0+ay0)]=(ab)^3/[(bx0)^2-(ay0)^2]=ab.
当P点在(±a,0)时仍然成立.
所以综合上述：S△MNO=a

若双曲线的方程为xy=a, p坐标为(x0,a/x0),
则过p点的切线斜率为-a/x0^2,
切线方程为y+ax/x0^2=2a/x0.
于是M,N坐标分别为(2x0,0)和(0,2a/x0),三角形MNO的面积为2|a|.
若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,作变量替换x'=(x/a+y/b)√ab/√2, y'==(x/a-y/b)√ab/√2...

2楼正解

可以先求出MN的坐标，再由反比例函数的表达式求出K，再求面积。