已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）

（1）当a=-1时，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1）∴f′(x)＝
1/1+x−1＝
−x
1+x]当x∈（-1，0）时f'（x）＞0；当x∈（0，+∞）时f'（x）＜0
∴当x=0时f_极大值（x）=f（0）=0，无极小值，
且函数f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）；（4分）
（2）当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立等价于ln（1+x）-（1-2a）x≥0
即：1−2a≤
ln(1+x)
x恒成立．令φ(x)＝
ln(1+x)
x，x∈[e−1，2]，∴φ′(x)＝

x
1+x−ln(1+x)
x2
当x∈[e-1，2]时，[x/1+x＜1，ln(1+x)＞1则：φ′(x)＜0∴φmin(x)＝φ(2)＝
ln3
2]∴1−2a≤
ln3
2∴a≥
2−ln3
4则实数a的取值范围[
2−ln3
4，+∞)（9分）
（3）由（1）得：当x＞0时，f（x）在区间（0，+∞）单调递减，则：ln（1+x）-x＜0，
即：ln（1+x）＜x，∴lnan＝ln(1+
n
2n)＜
n
2n，
则：lna1+lna2+…+lnan＜
1
2+
2
22+
3
23+…+
n
2n
记：Mn＝
1
2+
2
22+
3
23+…+
n
2n①∴[1/2Mn＝
1
22+
2
23+…+
n−1
2n+
n
2n+1]②
①-②得：[1/2Mn＝
1
2+
1
22+…+
1
2n−
n
2n+1]∴[1/2Mn＝1−
1
2n−
n
2n+1]∴Mn＝2−
n+2
2n+1＜2（12分）∴lnT_n＜2则：Tn＜e2（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题的考点是利用导数研究函数的单调性以及极值和最值问题，对于不等式恒成立问题往往是将不等式进行参数分类，转化为含参问题恒成立问题．