已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若

解题思路：（1）f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），可得f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，再用单调性的定义证明．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），再由函数f（x）是R上的增函数，得m+1＜3-2m．

（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+[（x₁）³-（x₂）³]=（x₁-x₂）[（x₁）²+（x₂）²+x₁x₂+1]=（x₁-x₂）[（x₁+[1/2]x₂）²+[3/4]x₂²+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜
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点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查了函数的单调性和奇偶性、解不等式等知识，属于中档题．

(1)f(x)是奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3+(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数。
（2）设x1f(x1)-f(x2)=[(x1)^3-(x2)^3]+(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1)^2+x1x2+(x2)^2]+(x1-x2)
=（x1-x2)[(x1+x2)^2-x1x2]+(x1-x2)
显然x1-...

1.该函数为奇函数。
定义域为R，关于原点对称；
又有f(x)=x^3=x=-（（-x)^3+(-x)）=-f(-x)，所以。。。。。
2.不妨在定义域中任取x1,x2,(x1>x2)
 f(x1)-f(x2)=。。。。。=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2+1)
由（x1-x2)^2>=0可知x1^2+x2^2+x1x2...