已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若

解题思路：（1）f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），可得f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，再用单调性的定义证明．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），再由函数f（x）是R上的增函数，得m+1＜3-2m．

（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+[（x₁）³-（x₂）³]=（x₁-x₂）[（x₁）²+（x₂）²+x₁x₂+1]=（x₁-x₂）[（x₁+[1/2]x₂）²+[3/4]x₂²+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜
2
3

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查了函数的单调性和奇偶性、解不等式等知识，属于中档题．