（2014•和平区三模）已知数列{an}（n∈N*）的各项满足a1=1-3k，an=4n-1-3an-1（n≥2，k∈R

解题思路：（I）利用已知a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R）变形为an+1−

4n+1

7

=-3(an−

4n

7

)（n≥1，k∈R）．对首项讨论即可．
（II）由（I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（III）作差a_n+1-a_n．利用数列{a_n}为递增数列，可得a_n+1-a_n＞0恒成立，对n分奇偶讨论，再利用指数函数的单调性即可得出．

（I）∵a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R），∴an+1−
4n+1
7=-3(an−
4n
7)（n≥1，k∈R）．
而a₁=1-3k，∴a1−
4
7=−3(k−
1
7)．
当k=[1/7]时，a1−
1
7=0，则数列{a_n-
4n
7}不成等比数列；
当k≠[1/7]时，a1−
1
7≠0，则数列{a_n-
4n
7}成等比数列．
（II）由（I）可知：当k≠[1/7]时，a1−
1
7≠0，a_n-
4n
7=(k−
1
7)•(−3)n．
当k=[1/7]时，上式也符合．
∴数列{a_n}的通项公式为an＝(k−
1
7)•(−3)n+
4n
7．
（III）a_n+1-a_n=(k−
1
7)•(−3)n+1+
4n+1
7-(k−1)•(−3)n−
4n
7=−4(k−
1
7)•(−3)n+
3
7×4n．
∵数列{a_n}为递增数列，∴

点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式、递增数列的性质、指数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．