初速度为零的做匀加速直线运动的物体通过连续相同位移所用时间的比及证明

你的理解是正确却的.
1s 路程总时间为t[1]
2s 路程总时间为t[2],则t[2]-t[1],就是第二个s 路程所用时间；
3s 路程总时间为t[3],则t[3]-t[2] 就是第三个s 路程所用时间；
.
以此类推
ns 路程总时间为t[n],则t[n]-t[n-1] 就是第n个s 路程所用时间；
由s = 1/2 at² ==> t = √(2s/a) = √(2/a) * √s ,因此：
t[1] = √(2/a) * √(1s) =√(2s/a)* 1
t[2] = √(2/a) * √(2s) ==> t[2] -t[1] = √(2s/a)*(√2 -1)
t[3] = √(2/a) * √(3s) ==> t[3] -t[2] = √(2s/a)*(√3 -√2)
.
t[n] = √(2/a) * √(ns) ==> t[n] -t[n-1] = √(2s/a)*(√n -√(n-1))
因此,连续相同位移时间比为;
(t[1])：(t[2]-t[1])：(t[3]-t[2])：.(t[n]-t[n-1])
=(√(2s/a) * √(1s)) ：√(2s/a)*(√2 -1) ：√(2s/a)*(√3 -√2) ：.：√(2s/a) * (√n - √(n-1))
=1：(√2 -1)：(√3 - √2)：.：(√n - √(n-1))
希望这样推导能帮助你理解公式的来历.