求证：数列11,111,1111,.的各项中没有完全平方数.

证明：要使得一个数的平方的个位数为1,只有两种情况,这个数的个位数为1或者9
那么我们设这个数为n=10k+1(k为任意自然数)
那么n^2=(10k+1)^2或者n^2=(10k+9)^2
n^2=(10k+1)^2=100k^2+20k+1
n^2=(10k+9)^2=100k^2+(180k+80)+1
=100(k^2+k)+80(k+1)+1
那么我们可以知道该数的平方数中十位数必然为偶数
而11,111,11111…………中十位数都是1,所以上述各项中没有完全平方数
证毕

证明 111…1(n个1)=1/9(10^n-1)，9(111…1)=10^n-1，
反证法，如果111…1是完全平方数，由9是完全平方数，则10^n-1也是完全平方数。下面分析这是不可能的：
(1)如果n偶数10^n<10^n-1<11^n，10^n-1介于两个相邻完全平方数之间；
(2)如果n是奇数10^n=10×10^(n-1)，如果10^n是完全平方数，10^(n-...

如果是必是奇数平方，
设奇数是2k+1,平方为4k^2+4k+1 ,模4余1
而数列中的数都模4余3（只看后两位，因为100是4的倍数）
所以没完全平方