记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记D1PD1B＝λ．当∠APC为钝角时，则λ的

解题思路：由∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于∠APC为钝角等价于PA•PC＜0，用关于λ的字母表示PA•PC＜0，根据向量数量积的坐标运算即可．

由题设可知，以

DA、

DC、

DD1为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由

D1B=（1，1，-1），得

D1P=λ

D1B=（λ，λ，-λ），
所以

PA=

PD1+

D1A=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），


PC=

PD1+

D1C=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
因为∠APC不是平角，
所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜

PA，

PC＞=


PA•

PC
|

PA|•|

PC|＜0，
则等价于

PA•

PC＜0
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得[1/3]＜λ＜1
因此，λ的取值范围是（[1/3]，1）．
故选B．

点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．