大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n＝12

大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n＝

n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：
1×2＝

(1×2×3−0×1×2)，
2×3＝

(2×3×4−1×2×3)，
3×4＝

(3×4×5−2×3×4)，
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝

×3×4×5＝20．
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）=

[1/3n(n+1)(n+2)

bjlymxn 1年前已收到1个回答举报

修女的领班幼苗

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解题思路：观察已知的三个等式，得出一般性的规律，根据得出的规律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一项，抵消合并后即可得到结果；依此类推得到1×2×3=[1/4]（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=[1/4]（2×3×4×5-1×2×3×4），
总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果．

根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
=
1
3]（1×2×3-0×1×2）+[1/3]（2×3×4-1×2×3）+…+[1/3][n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=[1/3]n（n+1）（n+2）；
依此类推：1×2×3=[1/4]（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=[1/4]（2×3×4×5-1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=[1/4]（1×2×3×4-0×1×2×3）+[1/4]（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+[1/4][（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=[1/4]n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：[1/3]n（n+1）（n+2）；[1/4]n（n+1）（n+2）（n+3）

点评：
本题考点：规律型：数字的变化类．

考点点评：此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．

1年前

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