设点P是曲线C：x 2 =2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为 5 4 ．
设点P是曲线C：x 2 =2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
（1）求曲线C的方程； （2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． |
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（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
5
4 ．
∴1+
p
2 =
5
4 ，解得p=
1
2 ．
所以曲线C的方程为x 2 =y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-
1
k ，0）
联立方程组
y=k(x-1)+1
y= x 2 ，消去y得x 2 -kx+k-1=0
解得Q（k-1，（k-1） 2 ）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y-（k-1） 2 ）= -
1
k (x-k+1) ．
代入曲线x 2 =y，得 x 2 +
1
k x-1+
1
k -(1-k ) 2 =0 ．
解得N（ 1-
1
k -k ， (1-
1
k -k ) 2 ）．…（8分）
所以直线MN的斜率k MN =
(1-
1
k -k) 2
1-
1
k -k-1+
1
k =-
(1-
1
k -k) 2
k ．…（10分）
∵过点N的切线的斜率 k′=2(1-
1
k -k) ．
∴由题意有-
(1-
1
k -k) 2
k = 2(1-
1
k -k) ．
∴解得 k=
-1±
5
2 ．
故存在实数 k=
-1±
5
2 使命题成立．…（12分）
5
4 ．
∴1+
p
2 =
5
4 ，解得p=
1
2 ．
所以曲线C的方程为x 2 =y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-
1
k ，0）
联立方程组
y=k(x-1)+1
y= x 2 ，消去y得x 2 -kx+k-1=0
解得Q（k-1，（k-1） 2 ）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y-（k-1） 2 ）= -
1
k (x-k+1) ．
代入曲线x 2 =y，得 x 2 +
1
k x-1+
1
k -(1-k ) 2 =0 ．
解得N（ 1-
1
k -k ， (1-
1
k -k ) 2 ）．…（8分）
所以直线MN的斜率k MN =
(1-
1
k -k) 2
1-
1
k -k-1+
1
k =-
(1-
1
k -k) 2
k ．…（10分）
∵过点N的切线的斜率 k′=2(1-
1
k -k) ．
∴由题意有-
(1-
1
k -k) 2
k = 2(1-
1
k -k) ．
∴解得 k=
-1±
5
2 ．
故存在实数 k=
-1±
5
2 使命题成立．…（12分）
1年前
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