设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]．
设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
赞 sym777 幼苗
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解题思路：（1）根据点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]，可求p的值，从而可得曲线C的方程；
（2）直线PQ的方程与抛物线方程联立，确定Q的坐标，进一步可得N的坐标，从而可得直线MN的斜率，利用导数求斜率，根据切线相等，即可求得k的值．
（2）直线PQ的方程与抛物线方程联立，确定Q的坐标，进一步可得N的坐标，从而可得直线MN的斜率，利用导数求斜率，根据切线相等，即可求得k的值．
（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]．
∴1+[p/2]=[5/4]，解得p=[1/2]．
所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-[1/k]，0）
联立方程组
y＝k(x−1)+1
y＝x2，消去y得x2-kx+k-1=0
解得Q（k-1，（k-1）2）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y-（k-1）2）=−
1
k(x−k+1)．
代入曲线x2=y，得x2+
1
kx−1+
1
k−(1−k)2＝0．
解得N（1−
1
k−k，(1−
1
k−k)2）．…（8分）
所以直线MN的斜率kMN=
(1−
1
k−k)2
1−
1
k−k−1+
1
k=-
(1−
1
k−k)2
k．…（10分）
∵过点N的切线的斜率k′＝2(1−
1
k−k)．
∴由题意有-
(1−
1
k−k)2
k=2(1−
1
k−k)．
∴解得k＝
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查直线斜率的求解，正确求斜率是关键．
1年前
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