（2010•红桥区一模）已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．

（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，
则

4＝a+b+4
2＝9a+3b+4，（1分）
解得

a＝−
1
3
b＝
1
3，
∴所求抛物线的解析式为y＝−
1
3x2+
1
3x+4．（2分）
由−
1
3x2+
1
3x+4＝0，
解得x₁=4，x₂=-3．
∴D（4，0）．（3分）

（2）如图，过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线，两线交于点M．
∴∠M=∠CNE=90度．
设E（a，0），EB=EC．
∴BM²+EM²=CN²+EN²．
∴（1-a）²+（4-0）²=（2-0）²+（3-a）²．
解得a=-1．
∴E（-1，0）．（4分）

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5．
从而直线BC与x轴的交点为H（5，0）．
如图，根据轴对称性可知S_△E′FG=S_△EFG，
当点E′在BC上时，点F是BE的中点．
∵FG∥BC，
∴△EFP∽△EBH．
可证EP=PH．
∵E（-1，0），H（5，0），
∴P（2，0）．（5分）
（i）如图，分别过点B、C作BK⊥ED于K，
CJ⊥ED于J，
则S_△BCE=S_△BEH-S_△CEH=[1/2]EH•（BK-CJ）=6．
当-1＜x≤2时，
∵PF∥BC，
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴[EG/EC＝
EP
EH]，
S△EFG
S△EBC＝
EG2

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题不仅考查了用待定系数法求二次函数解析式，还结合等腰三角形的性质考查了运用勾股定理求线段的长，解（3）时要注意进行分类讨论．