（2012•红桥区二模）已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-[1/a]（a＞0）．

设该抛物线的解析式为y＝−
1
ax2+bx+c，
∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点，
∴

c＝0
−
1
a+b+c＝1，
解得

b＝1+
1
a
c＝0．
∴该抛物线的解析式为y＝−
1
ax2+(1+
1
a)x
（Ⅰ）当a=1时，该抛物线的解析式为y=-x²+2x，
y=-x²+2x=-（x²-2x+1）+1=-（x-1）²+1．
该抛物线的顶点坐标为（1，1）；

（Ⅱ）∵点N在x轴上，∴点N的纵坐标为0．
当y=0时，有−
1
ax2+(1+
1
a)x＝0，
解得x₁=0，x₂=a+1．
∵点N异于原点，∴点N的坐标为（a+1，0）．
∴ON=a+1，
∵点M在射线AB上，∴点M的纵坐标为1．
当y=1时，有−
1
ax2+(1+
1
a)x＝1，
整理得出[1/ax2−(1+
1
a)x+1＝0，
解得x₁=1，x₂=a．
点M的坐标为（1，1）或（a，1）．
当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合，
此时a=1，BM=0，ON=2．ON+BM与ON-BM的值都是常数2．
当点M的坐标为（a，1）时，
若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a-1．
∴ON+BM=（a+1）+（a-1）=2a，ON-BM=（a+1）-（a-1）=2．
若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1-a．
∴ON+BM=（a+1）+（1-a）=2，ON-BM=（a+1）-（1-a）=2a．
∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2，
当a≥1时，ON-BM的值是常数2．

（Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为y＝−
1
a(x−h)2+k，
由不动点的定义，得方程：

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式的性质等知识，利用分类讨论的思想得出M与B的不同位置关系得出答案是解题关键．

1年前

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