如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

解题思路：（I）以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则我们可以确定长方体ABCD-A1B1C1D1中，各点的坐标，求出直线D1E和直线A1D的方向向量后，判断他们的数量积为0，即可得到D1E⊥A1D；（Ⅱ）由E为AB的中点时，则我们可以求出满足条件的E点的坐标，进而求出直线AC与D1E的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．（III）若二面角D1-EC-D的大小为π4，则平面D1EC的法向量n与平面ECD的法向量DD1的夹角大小为π4，求出平面D1EC的法向量n，构造关于x的方程，解方程即可得到满足条件的AE的值．

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因为

DA1=（1，0，1），

D1E=（1，x，-1）
∴

DA1•

D1E=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而

D1E=（1，1，-1），

AC=（-1，2，0），
设AC与D₁E所成的角为θ
则cosθ＝
|

AC•

D1E|
|

AC||

D1E|＝
|−1+2+0|

5
3＝

15
15…（9分）
（Ⅲ）设平面D₁EC的法向量为

n=（a，b，c），
∵

CE=（1，x-2，0），

D1C=（0，2，-1），

DD1=（0，0，1）
由



n•

D1C＝0




n•

CE＝0，有

2b−c＝0
a+b(x−2)＝0，
令b=1，从而c=2，a=2-x
∴

n=（2-x，1，2），…..（12分）
由题意，cos[π/4]=


n•

DD1
|

n|•|

DD1|=
2

(x−2)2+5=

2
2．
∴x=2+
3（不合题意，舍去），或x=2-
3．
∴当AE=2-
3时，二面角D₁-EC-D的大小为[π/4]．

点评：
本题考点： 向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角．

考点点评： 本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线间的夹角、距离，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，求出各顶点的坐标及相关直线的方向向量及相关平面的法向量的坐标，将空间平行、垂直及夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．