三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

解题思路：由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x³．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔3b＜

x3

x−1

恒成立⇔3b＜[

x3

x−1

]min，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．

由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x³．
①当x=1时，上式对于b∈R都成立；
②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔3b＜
x3
x−1恒成立，x∈（1，2]⇔3b＜[
x3
x−1]min，x∈（1，2]．
令g（x）=
x3
x−1，x∈（1，2]，则g′(x)＝
2x2(x−
3
2)
(x−1)2，由g^′（x）=0，解得x＝
3
2．
列表如下：
由表格可知：当x=[3/2]时，g（x）取得极小值，也即最小值，g(
3
2)＝
(
3
2)3

3
2−1=[27/4]．
∴3b＜
27
4，解得b＜
9
4．
综上①②可知：b的取值范围是(−∞，
9
4)．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问题的等价转化是解题的关键．