请阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接D
| 请阅读下列材料： 问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG．探究线段DM与MG数量与位置有何关系．  小聪同学的思路是：延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系______； （2）将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想． |
赞 fffreemlk 幼苗
共回答了20个问题采纳率：95% 举报
（1）如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD ∥ BC ∥ GF，
∴∠DAM=∠HFM，
∵M是线段AF的中点，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，
∠DAM=∠HFM
AM=FM
∠AMD=∠FMH ，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG ，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（3）如图3，过点F作FH ∥ AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG ，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．
∴∠DAM=∠HFM，
∵M是线段AF的中点，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，
∠DAM=∠HFM
AM=FM
∠AMD=∠FMH ，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG ，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（3）如图3，过点F作FH ∥ AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG ，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．
1年前
2
可能相似的问题
你能帮帮他们吗