已知点A(4,0),B(0,2),点P在二次函数y=(x的平方)+1的图像上运动,S表示△AOP与△BOP的面积之差,求
已知点A(4,0),B(0,2),点P在二次函数y=(x的平方)+1的图像上运动,S表示△AOP与△BOP的面积之差,求S的最大值,并求此时点P的坐标.
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设P点为（x1,y1）,则y1=x1²＋1（由函数得y1≥1）
由A(4,0),B(0,2)得AO=4,BO=2
,S△AOP=½AO×y1=2y1 ,S△BOP=½BO×|x1|=|x1|
S=S△AOP－S△BOP=2y1－|x1|
当x1≥0时,S=2y1－x1=2x1²＋2－x1=2（x1－1/4）²＋15/8
所以当且仅当x1=1/4时,S有最小值15/8,P点为（1/4,17/16）
当x1＜0时,S=2y1＋x1=2x1²＋2＋x1=2（x1＋1/4）²＋15/8
所以当且仅当x1=－1/4时,S有最小值15/8,P点为（－1/4,17/16）
综上所述故S有最小值为15/8,P点为（－1/4,17/16）或者（1/4,17/16）
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由A(4,0),B(0,2)得AO=4,BO=2
,S△AOP=½AO×y1=2y1 ,S△BOP=½BO×|x1|=|x1|
S=S△AOP－S△BOP=2y1－|x1|
当x1≥0时,S=2y1－x1=2x1²＋2－x1=2（x1－1/4）²＋15/8
所以当且仅当x1=1/4时,S有最小值15/8,P点为（1/4,17/16）
当x1＜0时,S=2y1＋x1=2x1²＋2＋x1=2（x1＋1/4）²＋15/8
所以当且仅当x1=－1/4时,S有最小值15/8,P点为（－1/4,17/16）
综上所述故S有最小值为15/8,P点为（－1/4,17/16）或者（1/4,17/16）
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