已知椭圆C1：y2a2+x2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．

解题思路：（1）由椭圆右顶点A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1，建立方程组，即可求出椭圆方程；
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，求出直线MN的方程代入椭圆C₁的方程，根据直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点，所以有△＞0，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立方程，从而可得h的取值范围．

（1）由题意得

b＝1
2•
b2
a＝1，∴

a＝2
b＝1，…（3分）
∴所求的椭圆方程为
y2
4+x2＝1…（5分）
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，则抛物线C₂在点P处的切线斜率为y'|_x=t=2t，…（6分）
∴直线MN的方程为y=2tx-t²+h，代入椭圆C₁的方程中，得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，…（7分）
因为直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点，所以有△=16t²（t²-h）²-16（1+t²）[（t²-h）²-4]＞0
即-（t²-h）²+4+4t²＞0，…（8分）
设线段MN的中点的横坐标是x₃，则x3＝
x1+x2
2＝
t(t2−h)
2(1+t2)，
设线段PA的中点的横坐标是x₄，则x4＝
t+1
2，
由题意得x₃=x₄，即有t²+（1+h）t+1=0，显然t≠0
∴h＝−
t2+t+1
t＝−(t+
1
t+1)（t≠0）…（9分）
∴t⁴+2t³-2t²+2t+1＜0，即（t²+t+1）²-5t²＜0
解得−
(1+
5)+
2(1+
5)
2＜t＜
−(1+
5)+
2(1+
5)
2
而−
(1+
5)+
2(1+
5)
2＜−1＜
−(1+
5)+
2(1+
5)
2＜0
又h＝−
t2+t+1
t＝−(t+
1
t+1)在(−
(1+
5)+
2(1+
5)
2，−1)上递增，
在(−1，
−(1+
5)+
2(1+
5)
2)上递减…（11分）
∴当t=-1时，h取到最小值1；…（12分）
当t＝−
(1+
5)+
2(1+
5)
2或t＝
−(1+
5)+
2(1+
5)
2时，h的值都为
5
∴h的取值范围是[1，
5)…（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查抛物线的切线，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．