A为n阶方阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆.

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用反证法.
假设A不可逆, 则齐次线性方程组AX = 0有非零解.
而若x0是Ax = b的一组解, 对AX = 0的任意一个非零解x1,
可知x0+x1也是Ax = b的解, 即Ax = b不止一组解.
于是Ax = b要么无解, 要么不只一组解, 与有唯一解矛盾.
因此假设不成立, A可逆.

1年前

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