（2014•河池一模）已知函数f（x）=[x/x+1]，若数列{an}（n∈N*）满足：a1=1，an+1=f（an）

（1）证明：∵数f（x）=
x/x+1]，数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=
an
an+1，∴an＝
an−1
an−1+1，
∴b_n=[1
an=
an−1+1
an−1=1+
1
an−1，
∴b_n-b_n-1=
1
an−
1
an−1=1，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2）由（1）知
1
an−
1
an−1=1，a₁=1，
∴{
1
an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴
1
an=n，∴an＝
1/n]．
（3）∵an＝
1
n，c_n=
2n
an，∴Cn＝2nn，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=
2(1−2n)
1−2-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn＝(n−1)2n+1+2．

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

1年前

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