(2014•河池一模)已知二面角α-l-β的大小为60°,A∈α,B∈β,AC⊥l于C,BD⊥l于D,AC=BD=4,C

(2014•河池一模)已知二面角α-l-β的大小为60°,A∈α,B∈β,AC⊥l于C,BD⊥l于D,AC=BD=4,CD=3,则AD与BC所成角的余弦值为
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ringice 1年前 已收到1个回答 举报

wang13_007 种子

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解题思路:由于AC=AD+DB+BC,利用数量积的性质可得:AC2=AD2+DB2+BC2+2AD•DB+2AD•BC+2DB•BC,把已知代入即可得出.

如图所示,过D在平面α内作DE⊥l,过A作AE∥l,DE∩AE=E,BE,AB.
则∠BDE是二面角α-l-β,其大小为60°,DE=AC=4,AE=CD=3.
∴△BDE是等边三角形.
由上面可知:l⊥平面BDE,AE∥l.
∴AE⊥平面BDE.
∴AE⊥BE.
∴AB=
BE2+AE2=5.


AB=

AD+

DC+

CB,


AB2=

AD2+

DC2+

CB2+2

AD•

DC+2

AD•

CB+2

DC•

CB.
∵AD=
CD2+AC2=5,同理可得BC=5.


AD•

DC=−

DA•

DC=-9,

DC•

CB=-

CD•

CB=-9.
∴52=52+32+52-2×9+2

AD•

CB-2×9,


AD•

CB=1,
∴5×5cos<

AD,

CB>=[1/25]
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为[1/25].
故答案为:[1/25].

点评:
本题考点: 异面直线及其所成的角.

考点点评: 本题考查了向量的多边形法则、数量积的性质、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

1年前

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