（2006•上海模拟）直三棱柱中，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，BD=DB1

（2006•上海模拟）直三棱柱中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，BD=DB₁
（1）求证：AD⊥平面A₁DC₁
（2）求异面直线C₁D，A₁C所成角的余弦．

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（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AD在平面A₁B₁C₁的投影为A₁B₁，因为A₁B₁⊥A₁C₁，
所以AD⊥A₁C₁，
在矩形ABB₁A₁中，∠ADB=∠A₁DB₁=45°，
所以∠ADA₁=90°，所以AD⊥A₁D，
所以AD垂直平面A₁DC₁．
（2）以A₁C₁，A₁B₁，A₁A分别为x，y，z轴建立坐标系．
则A₁（0，0，0），C₁（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1）
则

C1D=（-1，1，1），

A1C=（1，0，2），

C1D•

A1C=1
|

C1D|=
3，|

A1C|=

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