（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4

解题思路：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{b_n}的通项公式
（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求S_n，要证数列{S_n+[5/4]}是等比数列⇔

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

＝q≠0即可．

（I）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{b_n}中的依次为7-d，10，18+d
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{b_n}的第3项为5，公比为2
由b₃=b₁•2²，即5=4b₁，解得b1＝
5
4
所以{b_n}是以[5/4]首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝
5
4•2n−1
（II）数列{b_n}的前和Sn＝

5
4(1−2n)
1− 2＝
5
4•2n−
5
4
即Sn+
5
4＝
5•2n
4，所以S1+
5
4＝
5
2，
Sn+1+
5
4
Sn+
5
4＝
5•2n−1
5•2n−2＝2
因此{Sn+
5
4}是以[5/2]为首项，公比为2的等比数列

点评：
本题考点： 等比关系的确定；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识，同时考查基本运算能力