已知数列{a n }的前n项和为S n ，首项a 1 =1，且对于任意n∈N + 都有na n+1 =2S n ．

（Ⅰ）解法一：由na _n+1 =2S _n ①
得当n≥2时，（n-1）a _n =2S _n-1 ②，
由①-②可得，na _n+1 -（n-1）a _n =2（S _n -S _n-1 ）=2a _n ，
所以na _n+1 =（n+1）a _n ，
即当n≥2时，
a n+1
a n =
n+1
n ，
所以
a 3
a 2 =
3
2 ，
a 4
a 3 =
4
3 ，
a 5
a 4 =
5
4 ，…，
a n
a n-1 =
n
n-1 ，
将上面各式两边分别相乘得，
a n
a 2 =
n
2 ，
即 a n =
n
2 • a 2 （n≥3），
又a ₂ =2S ₁ =2a ₁ =2，所以a _n =n（n≥3），
此结果也满足a ₁ ，a ₂ ，
故a _n =n对任意n∈N ₊ 都成立．…（7分）
解法二：由na _n+1 =2S _n 及a _n+1 =S _n+1 -S _n ，
得nS _n+1 =（n+2）S _n ，
即
S n+1
S n =
n+2
n ，
∴当n≥2时， S n = S 1 •
S 2
S 1 •
S 3
S 2 •…•
S n
S n-1 =1×
3
1 ×
4
2 ×
5
3 ×…×
n+1
n-1 =
n(n+1)
2 （此式也适合S ₁ ），
∴对任意正整数n均有 S n =
n(n+1)
2 ，
∴当n≥2时，a _n =S _n -S _n-1 =n（此式也适合a ₁ ），
故a _n =n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得 b n =
4 a n+1
a n 2 a n+2 2 =
4n+4
n 2 (n+2) 2 =
1
n 2 -
1
(n+2) 2


T n =
1
1 2 -
1
3 2 +
1
2 2 -
1
4 2 +
1
3 2 -
1
5 2 +…+
1
n 2 -
1
(n+2) 2
=1+
1
4 -
1
(n+1) 2 -
1
(n+2) 2
=
5
4 -
(n+1) 2 + (n+2) 2
(n+1) 2 (n+2) 2 ＜
5
4
∴ T n ＜
5
4 ．…（13分）