如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，且受地理条件限制，|AN|长不超过8米，设AN=x．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若|AN|∈[3，4）（单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．
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解题思路：（1）求出矩形的长与宽，求得矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得AN的取值范围；
（2）求导数，确定函数y＝
在[3，4）上为单调递减函数，即可求得面积的最大值．
（2）求导数，确定函数y＝
| 3x2 |
| x−2 |
（1）设AN的长为x米（2＜x≤8）
∵[DN/AN＝
DC
AM]，∴AM=[3x/x−2]
∴SAMPN=AN•AM=
3x2
x−2
由SAMPN＞32得
3x2
x−2＞32
∵x＞2，∴3x2-32x+64＞0
∴2＜x＜[8/3]或x＞8
∵2＜x≤8
∴2＜x＜[8/3]，即AN的长的取值范围为（2，[8/3]）；
（2）令y＝
3x2
x−2，则y′＝
3x(x−4)
(x−2)2
∵x∈[3，4），∴y′＜0，∴函数y＝
3x2
x−2在[3，4）上为单调递减函数
∴当x=3时，y＝
3x2
x−2取得最大值，即矩形花坛AMPN的面积最大为27m2，此时AN=3m，AM=9m．
点评：
本题考点： 根据实际问题选择函数类型；基本不等式．
考点点评： 本题考查根据题设关系列出函数关系式，考查利用导数求最值，解题的关键是确定矩形的面积．
1年前
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