（2011•韶关模拟）已知数列{an}满足a1=a2=2，an+1=an+2an-1（n≥2）．

（1）∵a_n+1=a_n+2a_n-1，∴a_n+1+a_n=2（a_n+a_n-1）（n≥2）
∴{a_n+1+a_n}是2为公比，a₁+a₂=4为首项的等比数列．
故a_n+1+a_n=2ⁿ⁺¹①
又由a_n+1=a_n+2a_n-1得：a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1）（n≥2）
∴{a_n+1-2a_n}是以-1为公比，a₁-2a₂=-2为首项的等比数列
故a_n+1-2a_n=2×（-1）ⁿ②
①-②得：3a_n=2[2ⁿ-（-1）ⁿ]（n≥2）
又a₁=2也适合上式
∴a_n=
2
3[2n−(−1)ⁿ]
（2）当n为偶数时，
1
an−1+
1
an]=[3/2(
1
2n−1+1+
1
2n−1)=
3
2
2n+2n−1
2n−12n+2n−1−1]＜[3/2
2n+2n−1
2n2n−1]=[3/2(
1
2n−1+
1
2n)（n≥2）
∴
1
a1+
1
a2+…+
1
an＜
3
2(1+
1
2+
1
22+…+
1
2n)=3-
3
2n]＜3
当n为奇数时，由（1）可知[1
a1+
1

点评：
本题考点： 等比关系的确定；数列的应用．

考点点评： 本题主要考查了等比关系的确定问题．本题的关键是充分利用了不等式的传递性等性质．

1年前

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