（2014•镇江一模）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且（Sn+1+λ）an=（Sn+1）a

解题思路：（1）λ=1，则（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，可得

Sn+1+1

Sn+1

=

an+1

an

，利用叠乘法，可得S_n+1+1=2a_n+1，再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）要使数列{a_n}是等差数列，必须有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0，即可得出结论．．

（1）若λ=1，则（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，a₁=S₁=1．
又∵数列{a_n}的各项均为正数，∴
Sn+1+1
Sn+1=
an+1
an，…（2分）
∴
S2+1
S1+1•
S3+1
S2+1•…•
Sn+1+1
Sn+1=
a2
a1•
a3
a2•…•
an+1
an，
化简，得S_n+1+1=2a_n+1．①…（4分）
∴当n≥2时，S_n+1=2a_n．②
②-①，得a_n+1=2a_n，∴
an+1
an=2（n≥2）．…（6分）
∵当n=1时，a₂=2，∴n=1时上式也成立，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，a_n=2^n-1（n∈N^*）． …（8分）
（2）令n=1，得a₂=λ+1．
令n=2，得a₃=（λ+1）²． …（10分）
要使数列{a_n}是等差数列，必须有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0…（11分）
当λ=0时，S_n+1a_n=（S_n+1）a_n+1，且a₂=a₁=1．
当n≥2时，S_n+1（S_n-S_n-1）=（S_n+1）（S_n+1-S_n），
整理，得
Sn+1
Sn-1+1=
Sn+1
Sn，…（13分）
从而
S2+1
S1+1•
S3+1
S2+1•…•

点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，正确运用叠乘法是关键．