已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足：f（xy）=xf（y）+yf（x）．

（Ⅰ）f（x）是奇函数，
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即
f（-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数，
（Ⅱ）证明：令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴x≠0时，f（x•[1/x]）=xf（[1/x]）+[1/x]f（x）=0
∴f（[1/x]）=-[1
x2f（x），
∴∀x，y∈R且y≠0，f（
x/y]）=f（x•
1
y）=xf（[1/y]）+[1/y]f（x）=-[x
y2f（y）+
1/y]f（x）=
yf(x)−xf(y)
y2；
∴∀x，y∈R且y≠0：f（[x/y]）=
yf(x)−xf(y)
y2；
（Ⅲ）∵a₁=f（2）=2 且f（xy）=xf（y）+yf（x）．
令x=2，y=2^n-1，
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
即a_n=2a_n-1+2n（n≥2），
∴
an
2n＝
an−1
2n−1+1，
∴{
an
2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴
an
2n=1+（n-1），
即a_n=n•2ⁿ．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查等差数列的问题，属于中档题．