已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过
已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的
一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的
一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标． 
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解题思路：（1）易得A，C两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式；
（2）分别以点O或点A为圆心，以OA长为半径画弧，可得3个可能的点P，作出OA的垂直平分线可得第4个点P；
（3）易得点O与点B关于直线l对称，那么连接BD，与l的交点即为点E，得到DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．
（2）分别以点O或点A为圆心，以OA长为半径画弧，可得3个可能的点P，作出OA的垂直平分线可得第4个点P；
（3）易得点O与点B关于直线l对称，那么连接BD，与l的交点即为点E，得到DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．
（1）设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得
0＝4k+b
4＝b，
解之得
k＝−1
b＝4，
∴直线l的函数表达式y=-x+4；
（2）P1（0，4）、P2（2，2）、P3 (4−2
2，2
2)、P4(4+2
2，−2
2)；
（3）∵O与B关于直线l对称，
∴连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为y=k1x+b1 （k1≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）
4＝4k1+b1
2＝b1，
解得
k1＝
1
2
b1＝2
∴直线DB为y＝
1
2x+2，
解方程组：
y＝−x+4
y＝
1
2x+2，得
x＝
4
3
y＝
8
3，
∴点E的坐标为(
4
3，
8
3)．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．
1年前
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