已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0．

（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5．…（3分）
（2）x²+y²-2x-4y+m=0，即（x-1）²+（y-2）²=5-m，
所以圆心C（1，2），半径r＝
5−m，…（4分）
∵圆心C（1，2）到直线3x+4y-6=0的距离d＝
|3+8−6|

32+42＝1…（5分）
又|MN|＝2
3，∴r2＝12+(
3)2＝4，即5-m=4，∴m=1．…（6分）
（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，…（7分）
由

x2+y2−2x−4y+m＝0
x−y−1＝0得2x²-8x+5+m=0，…（8分）∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3…（9分）x1+x2＝4，x1x2＝
m+5
2…（10分）∴y1y2＝(x

点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用；二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题考查方程表示圆时实数m的取值范围的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．