已知AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E,且∠AEC=45°,问CE²＋DE²是否随CD长的改变而改变?

已知AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E,且∠AEC=45°,问CE²＋DE²是否随CD长的改变而改变?
清惠 1年前 已收到2个回答 举报
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appleud 幼苗

共回答了20个问题采纳率：80% 举报

不变
CE²+DE²=2R²
R是圆的半径
作OP⊥CD于点P,则CP＝DP
∵∠OEP＝45°
∴OP＝PE
设：DE＝a,OE＝b
则CE＝a,PE＝b
∴ED＝a＋b,EC＝a－b
∴PC^2＋ED^2＝（a－b）^2＋（a＋b）^＝2（a^2＋b^2）
连接OD
在Rt△DOP中,OP^2＋DP^2＝OD^2
∴a^2＋b^2＝2R^2
∴EC^2＋ED^2＝2R^2

1年前

5

xzp501314 幼苗

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不变 作OP⊥CD于点P，则CP＝DP 设 OP=a 半径为R
则 解Rt△EOP 的EP=OP=a
解Rt△OPD得 PD=(R^2-a^2)^(-2)=CP
所以 CE=(R^2-a^2)^(-2)-a ;ED=(R^2-a^2)^(-2)+a
CE²＋DE²=R^2-a^2-2a(R^2-a^2)^(-2)+a^2+R^2-a^2+2a(R^2-a^2)^(-2)+a^2
=2R^2

1年前

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