过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：y＝34x都相切的所有圆的半径之和为______．

因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a，r），半径为r，l₂：y＝
3
4x化为3x-4y=0．
所以

(2−a)2+(3−r)2＝r2…①

|3a−4r|

32+42＝r…②，解②得a=-[1/3]r，或a=3r，
由a=-[1/3]r以及①可得：a²+14a+13=0，解得a=-1或a=-13，此时r=3或r=39，
所有半径之和为3+39=42．
由a=3r以及①可得：9r²-18r+13=0，因为△=-144，方程无解；
综上得，过点（2，3）且与直线l₁：y=0和l₂：y＝
3
4x都相切的所有圆的半径之和为：42．
故答案为：42．

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系；圆的标准方程．

考点点评： 本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．