在△ABC中,∠B=60°,BC,AB上的高为AD,CE,连接DE.求证:DE=½AC.

证明：取AC的中点F,连接DF、EF
∵AD⊥BC,CE⊥AB
∴直角△ADC、直角△AEC
∵F是AC的中点
∴DF＝CF＝AC/2,EF＝AF＝AC/2 （直角三角形中线特性）
∴∠ACB＝∠FDC,∠BAC＝∠FEA
∴∠CFD＝180-∠ACB-∠FDC＝180-2∠ACB
∠AFE＝180-∠BAC-∠FEA＝180-2∠BAC
∴∠DFE＝180-∠CFD-∠AFE
＝180-180+2∠ACB-180+2∠BAC
＝2（∠ACB+∠BAC）-180
＝2（180-∠B）-180
＝180-2∠B
∵∠B＝60
∴∠DFE＝180-120＝60
∴等边△DEF
∴DE＝DF
∴DE＝AC/2

证明：∵BC,AB上的高为AD,CE
∴△ADB,△BCE是直角三角形
∵∠B=60°
∴BE=BC/2，BD=AB/2
∴DE^2=BE^2+BD^2-2*BE*BDcosA=（BC^2+AB^2-2BC*ABcosA）/4=AC^2/4
∴DE=½AC

BE/BC=1/2
BD/BA=1/2
∠B=∠B
所以⊿ABC∽⊿DBE
所以：ED/AC=EB/BC=1/2