已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，2）为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦

解题思路：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为

x2

a2

−

y2

a2

＝1，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|，根据双曲线的定义|TF₂|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0
∵该直线与圆 x2+(y−
2)2＝1相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）
故设双曲线C的方程为
x2
a2−
y2
a2＝1，又∵双曲线C的一个焦点为(
2，0)
∴2a²=2，a²=1，∴双曲线C的方程为x²-y²=1…（6分）
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|
若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|…（8分）
根据双曲线的定义|TF₂|=2，所以点T在以F₂(
2，0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x−
2)2+y2＝4(x≠0)①…（10分）
由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（x_T，y_T）
则

x＝
xT−

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；轨迹方程；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法（如相关点代入法）．