已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0．
∵该直线与圆 相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
设双曲线C的方程为 ，
∵双曲线C的一个焦点为 ，
∴2a ² =2，a ² =1．∴双曲线C的方程为x ² ﹣y ² =1．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF ₂ 到T，使|QT|=|OF ₁ |；
若Q在双曲线的左支上，则在QF ₂ 上取一点T，使|QT|=|QF ₁ |．
根据双曲线的定义，|TF ₂ |=2， 所以点T在以F ₂ 为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
． ①
由于点N是线段F ₁ T的中点，设N（x，y），T（x _T ，y _T ），则
代入①并整理，得点N的轨迹方程为 ．
（3）由 ．
令f（x）=（1﹣m ² ）x ² ﹣2mx﹣2，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0 在（﹣∞，0）上有两个不等实根，
因此 ．又AB的中点为 ，
∴直线L的方程为 ．
令x=0，得 ．∵ ，
∴ ．
∴故b的取值范围是 ．