求方程m2-2mn+14n2=217的自然数解．

方程m²-2mn+14n²=217，可化为：（m-n）²+13n²=217，
则可得（m-n）²≥0，n²≤[217/13]≈16.7，
∴n可取0，1，2，3，4，
①当n=0时，m²=217，217不是完全平方数，不符合题意；
②当n=1时，（m-1）²=204，204不是完全平方数，不符合题意；
③当n=2时，（m-2）²=165，165不是完全平方数，不符合题意；
④当n=3时，（m-3）²=100，100是完全平方数，此时m=13；
⑤当n=4时，（m-4）²=9，9是完全平方数，此时m=1；
综上可得方程m²-2mn+14n²=217的自然数解为：

n1＝3
m2＝13，

n2＝4
m2＝1．

点评：
本题考点： 非一次不定方程（组）．

考点点评： 本题考查了非一次不定方程，解答本题的关键是确定n的可取值，难度较大．